什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

长期以来,有一个幽灵,一直盘旋在广大电子爱好者的脑海中,那就是基尔霍夫定律。我们在看一些电子电路相关文章的时候,经常会看到作者提到“根据基尔霍夫定律”,然后吧啦吧啦一大堆,每到此时,我的的表情总是这样的:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

今天,我们来一起学习一下基尔霍夫定律(Kirchhoff Circuit Laws)。

一般来说,年代越久远的知识越好学,刚刚新鲜出炉的物理学论文你肯定看不懂。幸运的是基尔霍夫定律出现的比较早,它是在 1845 年,由德国科学家古斯塔夫·基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff)提出的。距离现在将近两百年了,我们要有信心能学会一百多年前的知识。

基尔霍夫定律指的是两条定律,第一条是电流定律,第二条是电压定律。下面,我们分别讲。

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律,英文是 Kirchhoff’s Current Law, 简写为 KCL

基尔霍夫电流定律指出:流入电路中某节点的电流之和等于流出电流之和(Total current entering a junction is equal to total current leaving it)。

用数学符号表达就是:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

基尔霍夫电流定律

其中,Σ 符号是求和符号,表示对一系列的数求和,就是把它们一个一个加起来。

举个例子, 对于下面这个节点,有两个流入电流,三个流出电流

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

对于上面节点,流入电流之和等于流出电流之和:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

为了方便记忆,我们将 KCL 总结为:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

基尔霍夫电流定律也被称为基尔霍夫第一定律(Kirchhoff’s First Law)、节点法则(Kirchhoff’s Junction Rule),点法则,因为它是研究电路中某个节点的电流的。

我们可以用张艺谋的电影 一个都不能少 来助记这条定律。

基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律,英文是 Kirchhoff’s Voltage Law, 简写为 KVL

基尔霍夫电压定律指出:闭合回路中电压升之和等于电压降之和(In any closed loop network, the total EMF is equal to the sum of Potential Difference drops.)。

如果我们规定电压升为正,电压降为负,基尔霍夫电压定律也可以表达为:闭合电路中电压的代数和为零(Algebraic sum of voltages around a loop equals to zero.)。

用数学符号表达就是:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

为了方便记忆,我们可以将 KVL 总结为:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

基尔霍夫电压定律也被称为基尔霍夫第二定律(Kirchhoff’s First Law)、回路法则(Kirchhoff’s Loop Rule),网格法则。

升压还是降压?

在用基尔基霍夫电压定律分析电路问题时,确定器件是升压还是降压是至关重要的。

升压还是降压由两个方向决定,一个是电流的方向,一个是绕行方向。电流方向就是传统电流的方向,和电子的流动方向相反。绕行方向就是分析电路时沿着的反向。我们下面用一个简单的电路来说明。

下图电路中电池电压为 12V, 电阻值为 10Ω,求电路中的电流。当然这里电流我们可以直接用欧姆定律求出,但是我们在此处用基尔霍夫电压定律来求。

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

我们知道这个电路中电流的方向是顺时针的,如下图所示:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

我们还知道,电阻流过电流会引起电压下降。因此,电阻的左边电压比右边高,我们给高电压的一边标上正号,低电压的一边表上负号,并且根据欧姆定律,我们知道电阻两端的电压降为电流乘以电阻:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

我们先将绕行方向选定为顺时针,也就是我们沿着顺时针反向分析整个回路:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

上图中绿色的顺时针箭头代表分析时的绕行方向。

我们可以选取回路中的任意一点开始分析,这里我们选取从 a 点开始分析:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

从 a 点开始沿绕顺时针分析电路,第一个遇到的是电池,沿着绕行方向,先是负(或者说是低电压)再是正(或者说是高电压),也就是说电压升高了,我们计为 +12V。过了电池来到电阻,沿顺时针绕行方向,先是碰到高电压再是低电压也就是电压下降了。过了电阻又回到 a 点,正好是一圈:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

根据基尔霍夫电压定律,闭合回路中电压的代数和为零,则有:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

解方程,我们求出电路中的电流为 1.2A。

换个绕行方向

还是上面的电流方向,我们也可以采取逆时针绕行方向分析:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

逆时针绕行

我们还是选取 a 点开始分析:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

从 a 点开始分析

从 a 点开始沿逆时针分析,第一个遇到的是电阻,先遇到低电压再遇到高电压,电阻是 升压的:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

电阻升压

电阻的压降是沿着电流的方向产生的,如果我们逆着电流的方向看,它就是升压的。也就是说,对电阻来说,当电流方向和绕行方向相反时,电阻升压。同一个电路,同一个器件,升压还是降压,取决于你从哪个方向看。

过了电阻,再遇到电池。先遇到电池的高电压端,再遇到电池的低电压端,也就是说电池是 降压 的:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

电池降压

根据基尔霍夫电压定律有:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

解方程,我们求出电路中的电流依然为 1.2A。

我们总结一下电阻和电源的升降压规律。

对电阻来说,如果顺着电流方向,电阻是降压的,但是逆着电流反向看,它就是升压的。总结电阻升降压规律如下:

  • 电流方向和绕行方向相同:降压
  • 电流方向和绕行方向相反:升压

我们用下图表示上述电阻升降压规律:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

对电池或电源来说,如果我们规定其电动势的方向为电源内部负极指向正极的方向,那么:

  • 电动势方向和绕行方向相同:升压
  • 电动势方向和绕行方向相反:降压

我们用下图表示上述电池升降压规律:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

上面的总结的电阻和电源升降压规律你也可以把它们完全反过来,比如,你可以规定对电阻来说,当电流方向和绕行方向相同时为升压,其他的也都如此反过来,套入 KVL 方程中,也能解出一样的结果来,但我认为那不好理解,有点反人类。

换个电流方向

对于上面那个简单的电路来说,我们一眼就看出电流方向是顺时针的,对于一些复杂的电路,我们可能一开始判断不出电流的方向,没关系,我们可以随便假设一个电流方向,最后如果求出的电流是正的,说明我们一开始猜测的电流方向是正确的。如果最后求出的电流是负的,说明我们一开始猜测的电流方向是错误的,我们把电流方向反过来就行了。总结一下:

  • 解出 I > 0, 实际电流和标定方向一致
  • 解出 I < 0, 实际电流和标定方向相反

我们把一开始假设的那个电流方向称为标定方向。

比如,同样是上面的简单电路,假设我们一开始并不知道电流是顺时针的,我们先假设它是逆时针的,并且我们选择顺时针绕行方向:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

随便猜测一个电流方向

我们还是从 a 点开始分析,沿着顺时针绕行,第一个遇到电池,从绕行方向看,电池是升压的。过了电池再遇到电阻。对于电阻来说,根据前面讲的电阻升降压规律,当电流方向和绕行方向相反时升压:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

电池升压,电阻升压

根据基尔霍夫电压定律,所有电压的代数和为零:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

解方程,我们求出电路中的电流为 -1.2A。电流是负的,我们知道我们标定的电流反向是错误的,应该反过来。

杀一头牛

上面那个简单的电路我们用基尔霍夫定律来求解电流,简直是杀鸡用牛刀。下面,我们来一个稍微复杂点的例子,杀一头牛试试。

看下面的电路:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

典型基尔霍夫电路

题目要求:求出各支路中的电流。

标定电流方向

根据以往的经验(可能是错误的)电流一般从电源正极流出,我们标定各支路中的电流方向如下:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

标定电流方向

注意上面电流的方向可能是错误的。最后的计算结果会告诉我们标定正确与否。如果计算出来电流是负值,说明我们一开始标定的电流方向是错误的。

选择绕行方向

电路中有两个回路,我们都选择顺时针绕行方向,也就是说我们沿着顺时针方向应用 KVL 分析电路:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

选择绕行方向

对于上面的电路,我们这套分析方法,认为只有两个回路,最外围的大回路我们不认为是回路:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

不是回路

这套分析方法也叫网孔(Mesh)分析法。你可把电路想象中一张大网,一个眼就是一个网孔。网孔就是上面的回路。

举个例子,下面这张电路图中,有 9 个网孔:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

9个网孔

写出节点方程

我们选择下图中的 a 点应用基尔霍夫节点方程:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

对 a 节点应用节点方程

根据 KCL 列出方程如下:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

节点方程

写出回路方程

我们从 b 点开始沿着前面的选择的顺时针绕行方向分析电路:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

从 b 点开始绕行回路1

从 b 点出发,先遇到 电池,它升压,再遇到 4Ω 电阻, 电流方向和绕行方向一致,它降压,再遇到 8Ω, 它也是降压,列方程如下:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

回路方程

我们从 c 点开始沿顺时针分析回路2:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

从 c 点开始绕行回路2

我们先遇到 8Ω 电阻, 绕行方向和我们标定的电流方向是相反的,逆着电流方向看,电阻是升压的。过了 8Ω 再遇到 6Ω 电阻, 逆着电流方向看,电阻也是升压的。过了 6Ω 电阻 遇到 4V 电源,先遇到正极,再遇到负极,此处电源是 降压 的。应用 KVL 我们列方程如下:

什么是基尔霍夫定律_基尔霍夫定律的概念

回路方程

三个方程,三个未知数:

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三元一次方程组

我们解方程得:

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计算结果

电流 I2 是负的,我们知道我们一开始标定的方向是错的,它的真正方向应该反过来。

我们总结一下解题步骤:

  1. 标定各回路中的电流方向
  2. 选择绕行方向
  3. 选择节点,应用 KCL, 写出节点方程
  4. 选择回路,应用 KVL, 写出回路方程
  5. 解方程

一开始标定的电流方向可能是错的,没关系,大胆选就行,最后的计算结果会纠正。

总结

KCL 是描述节点(Junction or Node)的, KVL 是描述回路(Loop)的。

KCL 是说流过电路中任意节点的电流的代数和为零,或者说对任意节点流入电流之和等于流出电路之和。

KVL 是说对于任意闭合回路电压的代数和为零,或者说闭合回路中电压升之和等于电压降之和。

在应用 KVL 进行分析时,器件是升压还是降压取决于你怎么看,对于电阻来说取决于两个方向:电流方向和绕行方向;对于电源来说,取决于:电动势方向和绕行方向。

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