在数学中，选择公理是集合论的公理。选择公理是说，给定任何容器集合，每个容器至少包含一个对象，可以通过从每个容器中任意选择一个对象来构造一个新集合，即使该容器集合是无限的。严格来说，它指出对于非空集合的每一索引族 
选择公理由Ernst Zermelo于1904年制定，以形式化他对良序定理的证明。
定义
选择函数（也称为选择器或选择）是一个函数f ，定义在非空集合的集合X上，使得对于X中的每个集合A，f (A)是A的一个元素。
有了这个概念，选择公理可以表述为：
选择公理 —— 对于任何非空集合的集合X，存在一个选择函数f，它定义在X上并将X的每个集合映射到集合的一个元素。
形式化的表述如下：
因此，选择公理的否定表明存在一个没有选择函数的非空集合的集合。
等价表述
选择公理还有许多其他等价的陈述。这些在某种意义上是等价的，在存在集合论的其他基本公理的情况下，它们暗示了选择公理并被它所暗示。
一种变体通过实际上用其范围替换每个选择函数来避免使用选择函数。
给定任何成对不相交非空集合的集合X，至少存在一个集合C，它包含与X中的每个集合完全相同的一个元素。
这保证了集合X的任何分区存在 X的子集C，该子集恰好包含来自分区每个部分的一个元素。
另一个等价的公理只考虑本质上是其他集合的幂集的集合X ：
对于任何集合 A，A 的幂集（去掉空集）都有一个选择函数。
使用此公式的作者经常谈到A上的选择函数，但这是一个略有不同的选择函数概念。它的域是A的幂集（删除了空集），因此对于任何集合A都有意义，同时，集合的集合上的选择函数的域是该集合，所以只对集合有意义。有了这个选择函数的替代概念，选择公理可以紧凑地表述为每个集合都有一个选择函数。
这相当于
对于任何集合A都有一个函数f使得对于A的任何非空子集B ，f (B)位于B中。
例子
一个说明性示例是从自然数中挑选的集合。从这样的集合中，人们总是可以选择最小的数字，例如给定集合 {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}}，包含每个最小元素的集合是 {4 , 10, 1}。在这种情况下，“选择最小的数字”是一个选择函数. 即使从自然数中收集了无限多的集合，也总是可以从每个集合中选择最小的元素来生成一个集合。也就是说，选择函数提供了一组被选择的元素。但是，对于实数的所有非空子集的集合（如果存在不可构造的实数），没有确定的选择函数。在这种情况下，必须使用选择公理。
伯特兰·罗素创造了一个类比：对于任何（甚至无限）的鞋子集合，可以从每对中挑选出左边的鞋子来获得合适的鞋子集合（即集合）；这使得直接定义选择函数成为可能。对于一对袜子的无限集合（假设没有显着特征），没有明显的方法可以在不调用选择公理的情况下生成一个从每对袜子中选择一个袜子的函数。
尽管最初存在争议，但选择公理现在被大多数数学家毫无保留地使用，并且它包含在公理集合论的标准形式中，即带有选择公理的 Zermelo-Fraenkel 集合论 ( ZFC )。