数学哲学有什么用?

马克思-布莱克（Max Black）是《数学的本质》的作者，认为数学基础的主要任务（也是任何数学哲学的主要任务）是阐明和分析整数或自然数的概念。布莱克所描述的任务真的如此难以完成吗？确实很难！

例如，毕达哥拉斯主义者依靠几何符号来捍卫“到目前为止，一切都是根据数字形成的”这一观点。例如，对于他们来说，四边形（由10个点组成的4行等边三角形，1、2、3、4排列，并产生13个等边三角形，其中包含其他几何形状）是“生成”其他不那么“基本”的几何图形的来源。

另一方面，欧几里德认为 “数字 “是几何空间的组成元素（他试图在其著名作品《几何原理》中全面描述）。其他古代哲学家如柏拉图和亚里士多德也提出了一些关于数学基础的想法。不幸的是，没有一个人在这个问题上取得了任何最终的结论。甚至像笛卡尔、洛克、休谟和康德这样的现代哲学家，也写过关于 “数学实体是什么 “的理论，然而他们都没有阐明一个完全成功的理论。

然后，在19世纪，”分析 “出现了。在这门学科中，出现了诸如复数和 “极限 “的概念等新思想，以帮助解决微分和积分方程的难题。根据斯图尔特和斯蒂尔韦尔的说法，需要这些新概念来计算 “一辆以不同速度行驶的车辆所行驶的总距离，一艘船放在海里时漂浮的深度，或者火箭的总燃料消耗”。

同样在19世纪，在 “分析 “领域，有一个名为 “分析的数学 “的项目，数学家们关注 “函数和数的性质”。不久之后，出现了当代最著名的三种数学哲学：逻辑主义、直觉主义和形式主义。

现状

根据伯特兰-罗素（Bertrand Russell）在其1901年出版的《数学原理》（Recent Work on the Principles of Mathematics）中的说法：

数学可以被定义为这样一门学科：我们永远不知道我们在谈论什么，也不知道我们所说的是否是真的。

这句话很好地描述了20世纪初数学哲学的现状。然而，罗素并不满足于此，他写下了20世纪关于这个问题的最雄心勃勃的论文之一——《数学原理》（1910）。在这部著作中，罗素和怀特海德试图阐述一个统一的理论，可以描述数学的所有元素。不幸的是，他们没有成功。罗素的逻辑主义对其他数学家如庞加莱来说是不够的。在1931年，哥德尔证实了罗素假设的整个体系的不可靠性。