arctanx求导等于多少?arctanx求导的步骤

求y=arctan[x+1/(x-2)]的导数计算

主要内容:

本文通过复合函数求导、反函数求导等方法,介绍计算y=arctan[x+1/(x-2)]导数的主要过程。

arctanx求导等于多少?arctanx求导的步骤

主要步骤:

※.直接求导法

解:对于反正切函数y=arctanx,其导数为y=1/(1+x^2),

本题是正切函数的复合函数,其求导过程如下:

dy/dx=[x+1/(x-2)]’/{1+[x+1/(x-2)]^2}

=[1-1/(x-2)^2]*(x-2)^2/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2},

※.反函数求导法

反函数的求导公式为:[f^(-1)(x)]’=1/f'(y)。

对于本题,函数y=arctan[x+1/(x-2)]的反函数为:

tany=x+1/(x-2),

此时有:y’=1/(tan’y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

由tany=1x+1/(x-2)两边平方有:

(tany)^2=[x+1/(x-2)]^2,即:

(tany)^2=[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2,

进一步代入导数中并化简可有:

y’=1/{1+[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2}*[x+1/(x-2)]’

=(x-2)^2/{[x(x-2)+1]^2+(x-2)^2]}*[1-1/(x-2)^2]

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}。

arctanx求导等于多少?arctanx求导的步骤

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